Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear satu variabel karena dalam sistem tersebut mempunyai satu variabel. Bentuk umum untuk persamaan linear satu variabel yaitu : y=mx+b yang dalam hal ini konstanta m menggambarkan gradien garis serta konstanta b adalah titik potong garis dengan sumbu-y.

Jika dalam sistem persamaan linear terdapat dua variabel maka sistem persamaannya disebut sistem persamaan linear dua variabel yang mempunyai bentuk umum Ax+By+C=0 dimana bentuk umum ini mempunyai bentuk standar ax+by=c dengan konstanta ≠0.

Dalam mencari titik potong suatu gradien kita gunakan rumus sebagai berikut :

Titik potong dengan sumbu x maka x= y/m + c

Titik potong dengan sumbu y maka y= mx + b 

Untuk persamaan linear yang memiliki lebih dari dua variabel memiliki bentuk umum :

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b dimana a1 merupakan koefisien untuk variabel pertama x1, begitu juga untuk yang lainnya sampai variabel ke-n.

1. Berikut ini diberikan bentuk beberapa persamaan, tentukan apakah termasuk persamaan linear atau bukan.

a.       x +  y = 8 (persamaan linear dua variabel)

b.      x² + 4x = -8 (persamaan kuadrat satu variabel)

c.       p² + q² = 12 (persamaan kuadrat dua variabel)

d.      4x + 6y + z = 9 (persamaan linear tiga varibel)

2. Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan  4 buah jeruk adalah Rp11.500,-

Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli  4 buah mangga dan 5. buah jeruk ?

Jawab :

Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model       matematika.

Misal:  harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y

Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :

2x + 3 y = 6000

5x + 4 y = 11500

Ditanya  4 x + 5 y =  ?

Kita eliminasi variable x :

2x + 3 y = 6000     | x 5 |  = 10x + 15 y = 30.000

5x + 4 y = 11500   | x 2 |  = 10x +   8 y = 23.000    -    ( karena x persamaan 1 dan 2 +)

7y  = 7000

y  = 1000

masukkan ke dalam suatu persamaan :

2x + 3 y = 6000

2x + 3 . 1000 = 6000

2x + 3000 = 6000

2x   = 6000 – 3000

2x = 3000

x = 1500

didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)

sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk

adalah  4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000

= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-

2. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka dalam matematika yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :

ax+by>c

ax+by<c

ax+by≥c

ax+by≤c

dengan a koefisien untuk x, b koefisien dari y dan c konstanta dimana a,b,c anggota bilangan riil dan a≠0,b≠0 .

Contoh:

Tentukan daerah  penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut!

3x + 5y = 15

x = 0

y = 0

Penyelesaian:

Gambar garis 3x + 5y =15, x = 0, dan y =0

Untuk 3x + 5y = 15

Pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

3 × 0 + 5× 0 = 15

0 = 15 (benar), artinya dipenuhi

Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0)

Untuk x = 0, pilih titik (1,1) kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

1 = 0 (benar), artinya dipenuhi.

Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1)

Untuk y = 0, pilih titik (1,1) kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

1 = 0 (benar), artinya dipenuhi.

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1).

Selanjutnya arsir daerah yang memenuhi persamaan..

Sekian materi Persamaan linear ini diharapkan dapat memberikan manfaat untuk kalian semua, semoga lebih memahami matematika. Selamat belajar dan semoga sukses...