Education by FH: Barisan dan Deret Aritmatika Geometri, Pengertian, Rumus, Dan Notasi Sigma

A. Barisan Dan Deret

Kalian tentu pernah berpikir tentang nomor rumah di sisi kiri jalan yang bernomor ganjil 1, 3, 5, 7, dan seterusnya, sedangkan nomor rumah di sisi kanan jalan bernomor genap 2, 4, 6, 8, dan seterusnya. Mungkin juga kalian pernah berpikir dari mana para pakar menyatakan bahwa 10 tahun ke depan penduduk Indonesia akan menjadi x juta jiwa.

Dua contoh di atas berkaitan dengan barisan dan deret dari suatu bilangan.

1. Barisan Bilangan

Bilangan-bilangan yang disusun urut dengan aturan tertentu seperti itulah dikenal dengan nama barisan bilangan.

Secara matematis, barisan bilangan merupakan nilai fungsi dengan daerah definisinya adalah bilangan asli. Misalkan barisan bilangan ditulis lambang U untuk menyatakan urutan suku-sukunya maka bilangan pertama ditulis U(1) atau U₁, bilangan kedua ditulis U(2) atau U₂, dan seterusnya.

Jadi, bentuk umum barisan bilangan adalah U₁, U₂, U₃, ..., U_n, ...

Dalam hal ini, U_n = f(n) disebut rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan.

Contoh Soal :

Diketahui barisan bilangan 4, 7, 12, 19, ....

a. Tentukan rumus suku ke-n.

b. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 199?

Penyelesaian :

Barisan bilangan: 4, 7, 12, 19, ...

a. Suku ke-1 = U₁ = 4 = 1² + 3

Suku ke-2 = U₂ = 7 = 2² + 3

Suku ke-3 = U₃ = 12 = 3² + 3

Suku ke-4 = U₄ = 19 = 4² + 3

Suku ke-n = U_n = n² + 3

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah U_n = n² + 3.

b. Diketahui suku ke-n = 199, berarti

U_n = 199

↔ n² + 3 = 199

↔ n² = 196

Karena n² = 196 maka n₁ = 14 atau n₂ = –14 (dipilih nilai n positif).

Mengapa tidak dipilih n = –14?

Jadi, suku yang nilainya 199 adalah suku ke-14.

2. Deret Bilangan

Misalkan kita mempunyai barisan bilangan U₁, U₂, U₃, ..., U_n dan S_n adalah jumlah dari suku-suku barisan itu.

S_n = S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n disebut deret.

Jadi, deret adalah jumlahan suku-suku dari suatu barisan.

B. Barisan dan Deret Aritmatika

1. Barisan Aritmatika

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.

Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini.

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

b. 2, 8, 14, 20, ...

c. 30, 25, 20, 15, ...

Barisan-barisan tersebut merupakan contoh dari barisan aritmatika.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U1) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

U₁= a

U₂ = U₁ + b = a + b

U₃ = U₂ + b = (a + b) + b = a + 2b

U₄ = U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U₅ = U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b

n = U_n–1 + b = a + (n – 1)b

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmatika adalah :

U_n = a + (n – 1)b

Keterangan:

U_n = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda

n = banyak suku

Contoh Soal Barisan Aritmatika :

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....

Jawaban :

–3, 2, 7, 12, …

Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.

Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh U_n = –3 + (n – 1)5.

Suku ke-8 : U₈ = –3 + (8 – 1)5 = 32.

Suku ke-20 : U₂₀ = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh Soal 2 :

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.

Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3, dan U_n = 40.

Rumus suku ke-n adalah U_n = a + (n – 1)b sehingga :

40 = –2 + (n – 1)3

↔ 40 = 3n – 5

↔ 3n = 45

Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.

Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

2. Deret Aritmetika

Dari sembarang barisan aritmetika, misalnya 2, 5, 8, 11, 14, ... dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yaitu 2 + 5 + 8 + 11 + .... Terlihat bahwa barisan aritmetika dapat dibentuk menjadi deret aritmetika dengan cara menjumlahkan suku-suku barisan aritmetika sehingga dapat didefinisikan secara umum.

Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n disebut deret aritmetika, dengan :

U_n = a + (n – 1)b.

Seperti telah kalian ketahui, deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan S_n. Dengan demikian,

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n.

Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus S_n, perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal Deret Aritmatika :

Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.

Pembahasan :

Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskan sebagai berikut.

S₅ =	2 + 5 + 8 + 11 + 14
S₅ =	14 + 11 + 8 + 5 + 2	+
2S₅ =	16 + 16 + 16 + 16 + 16	+
2S₅ =	5 x 16
S₅=80/2=40

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

Setelah kalian amati contoh di atas, kita dapat menentukan rumus umum untuk Sn sebagai berikut.

Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b. Oleh karena itu,

U₁ =	a			= a
U₂ =	a	+	B	= U_n – (n – 2)b
U₃ =	a	+	2b	= U_n – (n – 3)b
U_n =	a	+	(n – 1)b	= U_n

Dengan demikian, diperoleh :

S_n = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)

= a + (U_n – (n – 2) b) + (U_n – (n – 3) b) + ... + U_n............ (1)

Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.

U_n–1 = Un – b

U_n–2 = U_n–1 – b = U_n – 2b

U_n–3 = U_n–2 – b = U_n – 3b

Demikian seterusnya sehingga Sn dapat dituliskan

S_n = a + (U_n – (n – 1)b) + … + (U_n – 2b) + (U_n – b) + U_n ...... (2)

Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh :

Dengan demikian, 2S_n = n(a + U_n)

↔ Sn = ½ n(a + U_n)

↔ Sn = ½ n(a + (a + (n – 1)b))

↔ Sn = ½ n(2a + (n – 1)b)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah :

S_n = ½ n(a + U_n) atau

S_n = ½ n [2a + (n – 1)b]

Keterangan:

S_n= jumlah n suku pertama

a = suku pertama

b = beda

U_n = suku ke-n

n = banyak suku

C. Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri

Coba kalian amati barisan 1, 2, 4, 8, 16, 32, .... Terlihat, suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 pada suku sebelumnya. Barisan ini termasuk barisan geometri. Jadi, secara umum, barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding) dan dinotasikan dengan r.

Perhatikan contoh barisan-barisan berikut.

a. 3, 6, 12, 24, ...

b. 2, 1, ½, 1/4, ...

c. 2, –4, 8, –16, ...

Barisan di atas merupakan contoh barisan geometri.

Dengan demikian, dapat disimpulkan jika U₁, U₂, ... U_n barisan geometri dengan U_n adalah Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama (U1) dinyatakan a dan rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut.

U₁ =	a
U₂ =	U₁ × r = ar
U₃ =	U₂ × r = ar²
U₄ =	U₃ × r = ar³
U_n =	U_n–1 × r = ar^n–2 × r = ar^n–1

Dengan demikian, diperoleh barisan geometri a, ar, ar², ..., ar^n–1, ...

Jadi, rumus umum suku ke-n (U_n) barisan geometri adalah :

U_n = ar^n–1

Keterangan:

a = suku pertama

r = rasio

n = banyak suku

Contoh Soal Barisan Geometri :

Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari barisan geometri berikut.

a. 2, 6, 18, 54, ...

b. 9, –3, 1, -1/3 , ...

Jawaban :

a. 2, 6, 18, 54, ...

Dari barisan geometri di atas, diperoleh :

1) suku pertama: a = 2;

2) rasio: r = ... = ... = 3.

Karena rumus suku ke-n barisan geometri adalah :

U_n = ar^n–1 maka

U₇ = 2(3^7–1) = 2 × 729 = 1.458

3. Deret Geometri Tak Berhingga

Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga.

Perhatikan deret geometri berikut.

a. 1 + 2 + 4 + 8 + ...

Deret-deret di atas merupakan contoh deret geometri tak berhingga.

Dari contoh a dan b , rasionya berturut-turut adalah 2 dan –2.

Jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tidak terbatas. Deret yang demikian disebut deret divergen, dengan | r | > 1. Sebaliknya, dari contoh c dan d, rasio masing-masing deret 1/2 dan –1/3. Dari contoh c dan d, dapat kita hitung pendekatan jumlahnya. Deret tersebut dinamakan deret konvergen dengan | r | < 1. Pada deret konvergen, jumlah suku-sukunya tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi akan mendekati harga tertentu. Harga tertentu ini disebut jumlah tak berhingga suku yang dinotasikan dengan S_∞ . Nilai S_∞ merupakan nilai pendekatan (limit) jumlah seluruh suku (S_n) dengan n mendekati tak berhingga. Oleh karena itu, rumus deret tak berhingga dapat diturunkan dari deret geometri dengan suku pertama a, rasio r dan n → ∞

Karena deret konvergen (| r | < 1), untuk n → ∞ maka r_n → 0 sehingga :

Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah :

, dengan | r | < 1

D. Notasi Sigma

Salah satu ciri matematika adalah digunakannya lambang untuk mengungkapkan suatu pernyataan secara singkat, jelas, dan konsisten yang jika diungkapkan dengan kalimat biasa cukup panjang. Salah satu lambang yang penting adalah ” Σ ” (dibaca: sigma). Lambang ini digunakan untuk menuliskan penjumlahan secara singkat.

1. Pengertian Notasi Sigma

Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan di bawah ini.

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50

Jika semua suku-sukunya ditulis, cara penulisan penjumlahan tersebut jelas tidak efektif. Apalagi jika banyak bilangan yang dijumlahkan makin besar. Dengan menggunakan notasi sigma, penulisan 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 dipersingkat menjadi

k (dibaca: sigma k mulai dari k = 1 sampai dengan k = 50). Atau, boleh dibaca sigma k, untuk k = 1 hingga 50.

Huruf k digunakan sebagai variabel suku yang akan bergerak mulai 1 dan bertambah 1 sampai mencapai 50. Bilangan 1 disebut batas bawah dan 50 disebut batas atas penjumlahan. Secara umum, notasi sigma dinyatakan sebagai berikut.

U_k = U₁ + U₂ + ... + U_n

Keterangan:

1 = batas bawah

n = batas atas

k = indeks

U_k = suku ke-k

Batas bawah tidak harus bernilai 1. Jika batas bawah penjumlahan 1 dan batas atasnya n maka penjumlahan terdiri atas n suku, sedangkan jika batas bawahnya r dan batas atasnya n maka penjumlahan terdiri dari (n – r + 1) suku.

Contoh Soal Notasi Sigma :

Nyatakan dalam bentuk penjumlahan